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第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．
请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。
思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．
2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．
3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝．所以A．
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
设y＝ax(x－2)，代入点A，可得．
所以抛物线的表达式为．
（2）由，
得抛物线的顶点M的坐标为．所以．
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A、B(2,0)、M，
得，，．
所以∠ABO＝30°，．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当时，．此时C(4,0)．
②如图4，当时，．此时C(8,0)．(联系我时，请说明是在博发网看到的，谢谢！)